שבוע 6 - הרכבה, גרדיאנט, נגזרת כיוונית

כלל שרשרת:

שימושי ב כלל השרשרת הרב משתני בחישוביות

אם $x (t), y (t)$ פונ' גזירות בנקודה $t_{0}$ ואם $f (x, y)$ דיפרנציאבילית ב - $x (t_{0}), y (t_{0})$ אז הפונקציה $g (t) = f (x (t), y (t))$ היא גזירה ב - $t_{0}$ ומתקיים:
$g^{'} (t_{0}) = f_{x}^{'} (x (t_{0}), y (t_{0})) \cdot x^{'} (t_{0}) + f_{y}^{'} (x (t_{0}), y (t_{0})) \cdot y^{'} (t_{0})$
הערה:
- פונ' אלמנטרית היא לא בהכרח דיפרציאבילית ואפילו לא בהכרח גזירה לפי x או y.

שימושי ב נגזרת כיוונית בחישוביות

אם f(x,y) מוגדרת בנקודה $M_{0}$ , ואם $\vec{v} \neq 0$ וקטור, ואם f(x,y) מוגדרת בסביבת $M_{0}$ על הישר ${M_{0} + t \cdot \vec{v}}$ , אז נגדיר את "הנגזרת הכיוונית של f בנקודה $m_{0}$ בכיוון $\vec{v}$ " להיות הגבול הבא, אם קיים:
$lim_{t \to 0} \frac{f (M_{0} + t \cdot \vec{v}) - f (M_{0})}{t \cdot | | \vec{v} | |} = \frac{\partial f}{\partial \vec{v}} (M_{0})$

שימושי ב הגדרת הגרדיאנט בחישוביות וב - ירידה במורד הגרדיאנט

הגדרה: אם f(x,y) שהיא גזירה לפי x ולפי y בנקודה $m_{0}$ אז נגדיר את "הגרדיאנט של f ב - $m_{0}$ " להיות:
$\nabla f (M_{0}) = (\frac{\partial f}{\partial x} (M_{0}), \frac{\partial f}{\partial y} (M_{0}))$

מה הכיוון עבורו קצב הגדילה של פונקציה הוא מקסימלי? בכיוון הגרדיאנט.
מהו הכיוון עבור קצב הגדילה של פונקציה הוא מינימלי? ההופכי לגרדיאנט.
אם פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה ונסתכל על קו הגובה של הפונקציה בגובה של הצבת הנקודה בפונקציה, אז הישר המשיק לקו גובה זה הוא עם כיוון מאונך לגרדיאנט.

נגזרת מכוונת (כיוונית):
- תוצאתה היא סקלאר
- ניתן גם לכתוב אותה כ:
- $\frac{\partial f}{\partial \vec{a}} (M_{0}) = f_{x}^{'} (M_{0}) \cdot \frac{a_{x}}{∥ \vec{a} ∥} + f_{y}^{'} (M_{0}) \cdot \frac{a_{y}}{∥ \vec{a} ∥} + f_{z}^{'} (M_{0}) \cdot \frac{a_{z}}{∥ \vec{a} ∥}$
גרדיאנט:
- תוצאתו היא וקטור
- מכפלה סקלארית של הגרדיאנט בווקטור היחידה תניב את הנגזרת הכיוונית.
- יש שאלות שבהן כותבים "מצאו את הנגזרת המכוונת של ... בכיוון הנורמל לקו הגובה העובר דרך $m_{0}$ " והכוונה תהיה בכיוון הגרדיאנט.